円周率が3.05以上であることの証明
今月から来月にかけては、大学受験シーズンですね。それもあってか、昨日、電車内で見かけた城南予備校の車内広告に、「円周率が3.05以上であることを証明せよ」という問題が出てました。東大入試の過去問なんだとか。解答はホームページでのみ公開する、日能研の「シカクいアタマをマルくする」スタイル。
大学を出て以来、方程式を操る機会はほとんどなくなっていたので、久々に受験生時代に戻った気になって解いてみました。
(注) この先ネタバレなので、自力でチャンレジしてみたい方は、この先は読まずに解いてみてください。
最初の戦略は、円に内接する正n角形の外周が、nが十分大きいときに、2r * 3.05 (rは円の半径) を超えることを示そう、というものでしたが挫折。
で、適当なnの値のときに証明する方針に変更。円に内接する正n角形の外周の和は2r * n * sin(180/n) になるので、n = 6 の時は、外周の和は 2r * 3。つまり 円周率 > 3 ということです。まぁ、これは、1辺が半径と等しい正三角形6個が円に内接している様子を想像すれば、計算するまでもないですが。
続いて、n = 8で計算し、下記の解答例と同様に解けました。三角関数の半角の公式なんてすっかり忘れてたので、加法定理から導いたりしてちょいと手間取りました…。
脳トレじゃないですが、たまには普段とは違うことに頭を使ってみると、いい気分転換になりますね :-)
